Un día para defender los derechos de la razón

Se celebra hoy el Día Mundial de la Lógica en honor a dos grandes matemáticos que vivieron durante el siglo pasado: Alfred Tarski y Kurt Gödel. El polaco Tarski nació el 14 de enero de 1901 y el austríaco Gödel murió el 14 de enero de 1978. Al final se dirá algo sobre las contribuciones de estos científicos.

Conviene, por lo pronto, saber qué es la lógica. Toda teoría científica, pertenezca al campo de las ciencias naturales o de las sociales, es un conjunto organizado de razonamientos que pretende ser válido desde el punto de vista formal y, a la vez, verdadero desde el punto de vista del contenido. A la lógica le interesa el razonamiento científico no en lo que respecta a la verdad de los contenidos, sino en lo que respecta a la validez (o corrección formal) de sus razonamientos o argumentos. Para aclarar esto, consideremos la siguiente ley científica: “el átomo de hidrógeno tiene un solo electrón”. Decidir sobre la verdad de este enunciado es una tarea que corresponde a los físicos. Pero, como tal ley forma parte de una teoría, está vinculada con muchos otros enunciados, algunos de los cuales le anteceden y otros se derivan deductivamente de ella. La lógica es la disciplina que se ocupa de estas conexiones intrateóricas para constatar que no haya contradicciones entre los enunciados ni anfibologías en sus conceptos. El objetivo ideal de la ciencia es, pues, tanto la verdad de sus leyes como la validez o corrección de sus razonamientos.

Hubo dos epistemólogos argentinos (Klimovsky y Boido) que titularon un manual de filosofía de la ciencia con la expresión Las desventuras del conocimiento científico. ¿Por qué “desventuras”? Porque establecer la verdad de las hipótesis es una tarea titánica o, también, una “búsqueda sin término”, como diría Popper. Además, revisar la complejidad de las inferencias científicas, para estar seguros de que no haya contradicciones, es una tarea condenada al fracaso. De allí que los epistemólogos aludidos escribieron otro excelente manual con el título Las desventuras del conocimiento matemático. Hacer ciencia es, en consecuencia, una tarea desdichada, salvo para los ideólogos o los dogmáticos.

En los dos mayores genios de la ciencia, Aristóteles y Newton, esto no pasó inadvertido. La escuela aristotélica, que se extiende desde el siglo IV a. C. hasta ahora, analizó detalladamente los razonamientos más sencillos, llamados silogismos. Tienen dos premisas y una conclusión. Hay 256 formas silogísticas, pero sólo 19 son lógicamente válidas; las restantes son las falacias (argumentos mentirosos) que inundan los discursos políticos y los libros de los futurólogos. En cuanto a la verdad de las teorías científicas, Newton pensó que, a partir de cuatro principios fundamentales, las restantes leyes se derivaban matemáticamente y se confirmaban por la observación y el experimento. Sin embargo, en el Escolio General, con el que concluye su gran obra Principios matemáticos de filosofía natural, alude a ciertas realidades metafísicas y físicas que de ninguna manera pueden ser explicadas empíricamente. En síntesis, la validez de la lógica formal se reduce a muy pocos razonamientos; y la ciencia no puede probar nunca la verdad de sus fundamentos últimos.

¿No es acaso este quehacer intelectual ciertamente “desventurado”?

En 1931, Kurt Gödel presentó una memoria que muy pronto alcanzaría enorme importancia:

Sobre proposiciones fundamentalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines. Principia Mathematica es la gran obra de Russell y Whitehead, escrita entre 1910 y 1913; los sistemas afines son la aritmética axiomatizada de Peano y Zermelo y la teoría de conjuntos de Frege. Una condición necesaria de todo sistema formal es la de ser consistente, es decir, no contener antinomias (contradicciones). Pues bien, en la lógica estándar hay proposiciones enunciativas que no son decidibles, esto es, no pueden probarse como válidas. Para llegar a esta conclusión hay que recorrer un largo camino: aritmetizar todo cálculo lógico-matemático; crear un nuevo sistema de números (los gödelianos); elegir cualquier fórmula del cálculo elemental de funciones; aritmetizar con números gödelianos esta fórmula; comprobar que ella no es decidible. Tal comprobación es fundamental, porque si fuera decidible, la lógica sería un sistema completo. Pero todos los sistemas completos, es decir, aquellos donde todo puede probarse (una proposición y su contradictoria, por ejemplo), son falsos e inútiles.

A su vez, el gran aporte de Alfred Tarski también parte del tema de las antinomias. Recurrió a la semántica filosófica y, en su artículo La concepción semántica de la verdad y los fundamentos de la semántica, de 1944, adoptó la teoría de los niveles del lenguaje, justamente para evitar las antinomias. La semántica tarskiana trata de eliminar del vocabulario de la ciencia lo que era fundamental en la metafísica de Aristóteles: los términos analógicos. Como la palabra “verdad” es analógica, Tarski propone utilizar grafías diferentes para cada uno de los significados análogos. En fin, los trabajos de Tarski, como los de Gödel, tienen un objetivo común: defender los derechos de la razón, no sólo en ciencias y en filosofía, sino también en el comportamiento práctico de la sociedad.